Macierze

Pojęcie macierzy wprowadzono, aby uprościć rozwiązywanie układów równań liniowych.
W szkole średniej zajmowaliśmy się rozwiązywaniem układów dwóch równań z dwiema niewiadomymi, np.:Czasami pojawiały się układy trzech równań z trzema niewiadomymi, np.:Rozwiązanie takich układów równań wiązało się z wykonywaniem wielu żmudnych działań, co groziło łatwą pomyłką. Sytuacja byłaby jeszcze gorsza, gdybyśmy musieli rozwiązywać układy 4 równań z 4 niewiadomymi, lub jeszcze większe.
Do rozwiązywania tego typu problemów przydają się właśnie macierze. Rozmiar układu nie ma większego znaczenia, gdy rozwiązujemy go za pomocą macierzy.
Można w pewnym uproszczeniu powiedzieć, że macierz – to zwykła tabela liczb.

Działania na macierzach

 

Dodawanie macierzy

Dodawać można tylko macierze o tych samych wymiarach i robi to się następująco:

dzialania-na-macierzach-1

Mnożenie macierzy przez liczbę

Jeśli mnożymy macierz przez liczbę, to każdy jej wyraz mnożymy przez tę liczbę:

dzialania-na-macierzach-2

Mnożenie dwóch macierzy

Mnożenie macierzy jest trochę bardziej skomplikowane. Można je wykonać tylko wtedy gdy pierwsza macierz ma tyle samo kolumn ile druga wierszy (w szczególności więc widać, że mnożenie macierzy nie jest przemienne, bo iloczyn w odwrotnej kolejności może w ogóle nie istnieć). Obliczając iloczyn dwóch macierzy mnożymy skalarnie każdy wiersz pierwszej macierzy przez każdą kolumnę drugiej macierzy:

dzialania-na-macierzach-3

W miejscu kropki znajduje się iloczyn wiersza przy strzałce poziomej i kolumny przy strzałce pionowej, czyli:

4 ⋅ 2 + 5 ⋅ 5 + 6 ⋅ 8 = 81

Operacje elementarne

W każdej macierzy możemy na jej wierszach i kolumnach wykonywać pewne działania zwane operacjami elementarnymi. Nie jest to sztuka dla sztuki – operacje takie nie zmieniają pewnych własności macierzy, możemy więc w ten sposób przekształcać macierze do wygodniejszej postaci, z której łatwiej odczytać daną własność.

Operacje elementarne wykorzystuje się przy:

  • liczeniu wyznacznika macierzy kwadratowej
  •  liczeniu rzędu macierzy
  •  rozwiązywaniu układów równań liniowych
  •  odwracaniu macierzy (w jednej z metod odwracania)

Wyróżniamy trzy operacje elementarne:

  •  Dodanie wielokrotności wiersza (kolumny) do innego wiersza (kolumny).

Przykładowo w macierzy:

operacje_elementarne_1

możemy dodać drugi wiersz dwa razy do pierwszego, otrzymując w wyniku:

operacje_elementarne_2

Zapisujemy to symbolicznie:

operacje_elementarne_3

Dokładnie tak samo moglibyśmy działać na kolumnach:

operacje_elementarne_4

  •  Mnożenie wiersza lub kolumny przez niezerową liczbę

Przykładowo w macierzy:

operacje_elementarne_5

możemy dodać pomnożyć pierwszy wiersz przez 2, otrzymując:

operacje_elementarne_6

Zapisujemy to symbolicznie:

operacje_elementarne_7

Dokładnie tak samo moglibyśmy podzielić pierwszą kolumnę przez 2 (czyli pomnożyć przez 1/2 ):

operacje_elementarne_8

  • Zamiana miejscami wierszy lub kolumn Przykładowo w macierzy:

zamiana-miejscami_1

możemy zamienić miejscami wiersze pierwszy z trzecim, co zapisujemy:

zamiana-miejscami_2

lub zamienić miejscami kolumny drugą i czwartą:

zamiana-miejscami_3

Kiedy używać których operacji elementarnych?

  •  Liczenie rzędu macierzy-

Rzędu macierzy nie zmieniają żadne operacje elementarne, zarówno na wierszach, jak i na kolumnach. W tym wypadku mamy więc całkowitą swobodę działania.

  • Liczenie wyznacznika macierzy kwadratowej

W przypadku wyznacznika sprawa jest bardziej skomplikowana. Wartości wyznacznika nie zmienia wyłącznie dodanie wielokrotności jednego wiersza do innego lub jednej kolumny do innej. Natomiast pomnożenie wiersza (lub kolumny) przez liczbę a powoduje, że wyznacznik zwiększa się a razy. Jeszcze trudniej kontrolować zachowanie wyznacznika przy zamianie miejscami wierszy (lub kolumn) – wówczas może (ale nie musi) zmienić znak wyznacznika, co zależy od parzystości stosownej permutacji. Z uwagi na powyższe, w przypadku liczenia wyznacznika najlepiej jest ograniczać się do pierwszej z wymienionych operacji.

  •  Rozwiązywanie układów równań liniowych

W przypadku rozwiązywania układów równań metodą macierzową możemy działać wyłącznie na wierszach – działanie na kolumnach oznaczałoby bowiem wprowadzenie nowych zmiennych (czego nigdy nie chcemy robić).

  •  Znajdowanie macierzy odwrotnej

Gdy odwracamy macierz przy użyciu dopisanej macierzy jednostkowej, możemy działać cały czas na wierszach lub też cały czas na kolumnach – nie wolno nigdy mieszać operacji wierszowych z kolumnowymi.

Wyznacznik

Wyznaczniki można liczyć tylko dla macierzy kwadratowych, tzn. o wymiarach n × n. Formalna defi- nicja wyznacznika jest rekurencyjna:

wyznacznik_1

gdzie A1i to macierz powstała przez wykreślenie z macierzy A pierwszego wiersza i i-tej kolumny.

Dla małych macierzy są wygodne sposoby obliczania wyznaczników:

Dla macierzy 2 × 2:

wyznacznik_2

Dla macierzy 3 × 3 używamy tzw. metody Sarrusa: dopisujemy do macierzy z prawej strony dwie pierwsze kolumny (lub z dołu dwa pierwsze wiersze) i następnie iloczyny wzdłuż trzech przekątnych dodajemy, a wzdłuż trzech odejmujemy:

wyznacznik_3

Równość z definicji to szczególny przypadek tzw. rozwinięia Laplace’a. W definicji mamy rozwinięcie względem pierwszego wiersza, ale rozwijać można również według dowolnego wiersza:

wyznacznik_4.JPG

lub kolumny:

wyznacznik_5.JPG

Widać, że powyższe wzory pozwalają nam sprowadzić liczenie wyznacznika macierzy n × n do liczenia n wyznaczników macierzy n−1×n−1. Pamiętamy jednak, że pierwsza operacja elementarna na wierszach macierzy nie zmienia wartości wyznacznika, dlatego najwygodniej jest doprowadzić macierz do postaci w której w jednej kolumnie (lub wierszu) będą same zera i następnie rozwinąć względem tej kolumny (wiersza). Wówczas po rozwinięciu względem tej kolumny (wiersza) pozostaje do policzenia tylko jeden wyznacznik macierzy o wymiarze mniejszym o jeden.

Przykład:

wyznacznik_6

Teraz moglibyśmy użyć już metody Sarrusa, ale ponieważ na oko wychodzą duże liczby, więc wygodniej będzie raz jeszcze użyć operacji elementarnych:

wyznacznik_7

Rząd macierzy

Podstawowa definicja rzędu macierzy wiąże się z liniową niezależnością wierszy, co intuicyjnie można rozumieć w ten sposób, że rząd macierzy to maksymalna liczba wierszy, których nie da się wyzerować operacjami elementarnymi. Ponieważ jednak potrzebne jest nam bardziej precyzyjne określenie, więc równoważnie definiujemy, że rząd macierzy to wymiar największej podmacierzy kwadratowej o niezerowym wyznaczniku.

I ta definicja ma jednak pewne wady, ponieważ jeśli chcielibyśmy znaleźć rząd macierzy o wymiarze 5 × 8 licząc po kolei wszystkie minory (czyli właśnie wyznaczniki podmacierzy kwadratowych), a rząd powinien wyjść 3, to najpierw musielibyśmy policzyć 56 minorów 5 × 5 (wszystkie równe zero), następnie 350 minorów 4×4 (też wszystkie równe zero), a dopiero potem znaleźć niezerowy minor 3×3.

Na szczęście można sobie przyśpieszyć rachunki, używając metody podobnej do liczenia wyznacznika przy użyciu rozwinięcia Laplace’a. Mianowicie: doprowadzamy do tego by w pewnej kolumnie (wierszu) były prawie same zera z wyjątkiem jednego miejsca; następnie wykreślamy tę kolumnę (wiersz) oraz wiersz (kolumnę) w której znajdował się niezerowy wyraz i dodajemy do rzędu jedynkę. Proces kończymy w momencie gdy macierz ”zniknie” lub też pojawi się macierz złożona z samych zer.

Prześledźmy to na przykładzie:

rzad-macierzy_1

 

 

Wzory Cramera

Jeśli rozwiązujemy układ równań w którym jest tyle samo równań co niewiadomych, możemy skorzystać ze wzorów Cramera. Jeśli A jest macierzą kwadratową n × n i mamy n niewiadomych xi , a b jest kolumną wyrazów wolnych, to oznaczamy przez Ai macierz która powstaje przez zastąpienie i-tej kolumny macierzy A przez kolumnę b. Wówczas rozwiązując układ [A∣b] możemy stwierdzić, że:

  • Jeśli detA ≠ 0, to układ jest oznaczony, a jego rozwiązanie to xi = detAi detA .
  •  Jeśli detA = 0 i dla pewnego i jest det Ai ≠ 0, to układ jest sprzeczny.
  •  Jeśli detA = 0 i dla wszystkich i jest det Ai = 0, to układ może być sprzeczny lub nieoznaczony (częściej nieoznaczony). W tej sytuacji możemy radzić sobie metodą Gaussa lub też zmodyfikować metodę Cramera.

Przykład:

wzory_cramera_1

– macierz układu to:

wzory_cramera_2

Mamy:

wzory_cramera_3

i:

wzory_cramera_4

więc

wzory_cramera_5

Przykład:

wzory_cramera_6.jpg

– macierz układu to:

wzory_cramera_7

Nietrudno sprawdzić, że wszystkie wyznaczniki się zerują. W takiej sytuacji, jeśli nie chcemy używać metody Gaussa, znajdujemy największą podmacierz macierzy głównej układu o niezerowym wyznaczniku – tutaj jest to na przykład [ 1 1 ;1 −2 ]. W wyjściowym równaniu wykreślamy te wiersze których nie uwzględniliśmy w podmacierzy, a za zmienne z kolumn których nie uwzględniliśmy w podmacierzy podstawiamy parametr i przenosimy na drugą stronę. U nas z = a oraz:

wzory_cramera_8

– macierz układu to:

wzory_cramera_9

Tu już możemy skorzystać ze wzorów Cramera i łatwo policzyć, że det A = −3, detAx = 5a − 12 i detAy = −a − 3.

Otrzymujemy stąd rozwiązanie:

wzory_cramera_10 dla dowolnego a ∈ R.

Metoda eliminacji Gaussa

Najefektywniejszą metodą rozwiązywania układów równań (tym razem dowolnych) jest metoda eliminacji Gaussa. Polega ona na doprowadzeniu operacjami elementarnymi macierzy układu do takiej postaci, z której łatwo odczytać rozwiązanie. Najwygodniejsza postać to taka, w której jest jak najwięcej kolumn macierzy jednostkowej, tzn. kolumn z jedną jedynką i resztą zer. Warto też pamiętać, że jeśli pojawi się wiersz złożony z samych zer to możemy go wykreślić; podobnie jeśli pojawi się kilka identycznych wierszy to możemy wykreślić wszystkie z wyjątkiem jednego.

Przykład:

eliminacja_gaussa_1

-macierz układu to oczywiście:

eliminacja_gaussa_2

Przekształćmy macierz układu:

eliminacja_gaussa_3.JPG

Ostatni wiersz się dubluje, a drugi możemy podzielić przez −3:

eliminacja_gaussa_4

Mamy już trzy kolumny macierzy jednostkowej. Odpowiadające im zmienne x, y, z wyznaczymy zależ- nie od parametrów, a parametry wprowadzamy za pozostałe zmienne, czyli u, t. Niech więc u = a, t = b – wówczas pierwszy wiersz oznacza, że x − 7a + 19 3 b = 7 3 skąd x = 7a − 19/3 b + 7/3 . Analogicznie wyliczamy y i z otrzymując ostatecznie rozwiązanie:

eliminacja_gaussa_5.JPG gdzie a, b ∈ R

Oczywiście nie jest to jedyna postać rozwiązania, natomiast na pewno w każdej innej postaci też muszą pojawić się dwa parametry.

Macierz odwrotna

Macierz odwrotna do macierzy kwadratowej macierzy A to taka macierz A−1 , że A ⋅ A−1 = A−1 ⋅ A = I, gdzie I to macierz jednostkowa. Odwracalne są tylko macierze kwadratowe o niezerowym wyznaczniku. Są dwa sposoby wyznaczania macierzy odwrotnej:

Sposób I

macierz_odwrotna_1

Przykład:

macierz_odwrotna_2

Łatwo policzyć, że det A = 1, natomiast macierz dopełnień algebraicznych liczymy zastępując w macierzy A wyraz z i-tego wiersza i j-tej kolumny przez wyznacznik macierzy powstałej po wykreśleniu z macierzy A i-tego wiersza i j-tej kolumny pomnożony przez (−1)^( i+j) :

macierz_odwrotna_3

czyli (po transpozycji i podzieleniu przez wyznacznik nic się nie zmienia):

macierz_odwrotna_4

Sposób II

Dopisujemy z boku danej macierzy macierz jednostkową i operacjami elementarnymi przekształcamy naszą macierz do macierzy jednostkowej:

Macierz_odwrotna_5.JPG

Macierz z prawej strony to już macierz odwrotna. Drugi sposób jest efektywniejszy w przypadku macierzy większych rozmiarów.

Kurs WIDEO:

 

Bibliografia:

http://www.math.edu.pl/macierze

Teresa Jurlewicz, Zbigniew Skoczylas

Algebra i geometria analityczna
Definicje, twierdzenia, wzory

aigap.jpg


Skomentuj

Wprowadź swoje dane lub kliknij jedną z tych ikon, aby się zalogować:

Logo WordPress.com

Komentujesz korzystając z konta WordPress.com. Wyloguj /  Zmień )

Zdjęcie na Google

Komentujesz korzystając z konta Google. Wyloguj /  Zmień )

Zdjęcie z Twittera

Komentujesz korzystając z konta Twitter. Wyloguj /  Zmień )

Zdjęcie na Facebooku

Komentujesz korzystając z konta Facebook. Wyloguj /  Zmień )

Połączenie z %s