Wklęsłość i wypukłość

 

Do zbadania wklęsłości, wypukłości funkcji należy:
1 –  wyznaczyć drugą pochodną funkcji
2 –  przyrównać ją do zera i rozwiązać równanie
3 –  wyznaczyć przedziały wyznaczone przez rozwiązania równania i dziedzinę funkcji
4 – sprawdzić znak drugiej pochodnej w danych przedziałach

W tym artykule nie zajmiemy się obliczaniem przedziałów wklęsłości, wypukłości funkcji z definicji, zaprezentowane będą przykłady omówione krok po kroku. Zagadnienie to jest ściśle związane z punktami przegięcia definicją i przykładami zamieszczonymi w innych artykułach .

Przykład 

Wyznacz punkty przegięcia oraz przedziały wklęsłości i wypukłości funkcji f(x)=3x5+10x4+10x3f(x)=3×5+10×4+10×3.

Dziedzina funkcji to Df=RDf=R.

Najpierw obliczamy drugą pochodną funkcji:

f(x)=15x4+40x3+30x2f′(x)=15×4+40×3+30×2 – pierwsza pochodna

f′′(x)=60x3+120x2+60xf″(x)=60×3+120×2+60x

f′′(x)=60x(x2+2x+1)f″(x)=60x(x2+2x+1) – druga pochodna

następnie wyliczoną pochodną przyrównujemy do zera i rozwiązujemy.

f′′(x)=0f″(x)=0

60x(x2+2x+1)=0/:6060x(x2+2x+1)=0/:60

x(x2+2x+1)=0x(x2+2x+1)=0

x=0x2+2x+1=0x=0∨x2+2x+1=0

x=0(x+1)2=0x=0∨(x+1)2=0

x=0x+1=0x=0∨x+1=0

x1=0x2=1x1=0∨x2=−1

mamy więc dwa punkty podejrzane o bycie punktem przegięcia, teraz trzeba sprawdzić znak drugiej pochodnej w każdym z trzech przedziałów (wyznaczonych przez x1x1 oraz x2x2), czyli

1 –  (;1)(−∞;−1)

2 –  (1;0)(−1;0)

3 –  (0;+)(0;+∞)

więc:

1 –  dla (;1)(−∞;−1) wybierzemy -10 i wstawimy do wzoru drugiej pochodnej,

f′′(10)=60(10)((10)2+2(10)+1)=600(10020+1)=f″(−10)=60(−10)((−10)2+2(−10)+1)=−600(100−20+1)=

=60081=48600=−600⋅81=−48600

wynik jest liczbą ujemną, co oznacza, że funkcja jest wklęsła.

2 –  dla (1;0)(−1;0) wybierzemy 12−12 bo należy do przedziału,

f′′(12)=60(12)((12)2+2(12)+1)=30(141+1)=3014=f″(−12)=60(−12)((−12)2+2(−12)+1)=−30(14−1+1)=−30⋅14=

=712=−712

wynik podobnie jak w pierwszym przedziale jest liczbą ujemną, co oznacza, że funkcja podstawowa w tym przedziale jest wklęsła.

3 – dla  (0;+)(0;+∞) wybierzemy liczbę 10,

f′′(10)=6010(102+210+1)=600(100+20+1)=600121=f″(10)=60⋅10(102+2⋅10+1)=600(100+20+1)=600⋅121=

=72600=72600

wynik jest liczbą dodatnią, co oznacza, że funkcja w tym przedziale jest wypukła.

Możemy juz jednoznacznie określić punkty przegięcia:

dla x=1x=−1 z lewej strony druga pochodna jest ujemna, z prawej jest ujemna – wniosek funkcja nie posiada punkt przegięcia dla x=1x=−1

dla x=0x=0 z lewej strony druga pochodna jest ujemna, z prawej jest dodatnia – wniosek funkcja posiada punkt przegięcia dla x=0x=0

pozostaje wyliczyć jedynie współrzędne punktu przegięcia

f(0)=305+1004+1003=0f(0)=3⋅05+10⋅04+10⋅03=0

Odpowiedź:

Funkcja posiada punkt przegięcia A=(0;0)A=(0;0), funkcja jest wklęsła dla xϵ(;1)(1;0)xϵ(−∞;−1)∪(−1;0) funkcja jest wypukła dla xϵ(0;+)xϵ(0;+∞)

 

 


Skomentuj

Wprowadź swoje dane lub kliknij jedną z tych ikon, aby się zalogować:

Logo WordPress.com

Komentujesz korzystając z konta WordPress.com. Wyloguj /  Zmień )

Zdjęcie na Google

Komentujesz korzystając z konta Google. Wyloguj /  Zmień )

Zdjęcie z Twittera

Komentujesz korzystając z konta Twitter. Wyloguj /  Zmień )

Zdjęcie na Facebooku

Komentujesz korzystając z konta Facebook. Wyloguj /  Zmień )

Połączenie z %s