Równania różniczowe

Równaniem różniczkowym nazywamy równanie, w którym występuje związek funkcji niewiadomej i jej pochodnych. Rząd równania różniczkowego jest równy największemu rzędowi występujących w nim pochodnych. Równania różniczkowe należą do kategorii równań funkcyjnych, czyli takich, w których niewiadomą jest funkcja. O ich specyfice decyduje to, że oprócz niewiadomej funkcji w równaniu występuje również pochodna (pochodne) tej funkcji. … More Równania różniczowe

Przestrzenie wektorowe

Przestrzeń liniowa lub wektorowa – zbiór obiektów (nazywanych „wektorami”), które mogą być skalowane i dodawane. Formalnie jest to zbiór z określonymi dwoma działaniami: dodawaniem elementów tej przestrzeni (wektorów) i mnożeniem przez elementy ustalonego ciała, które związane są ze sobą poniższymi aksjomatami. Przestrzenie liniowe to podstawowy obiekt badań algebry liniowej i analizy funkcjonalnej. Znajdują zastosowanie niemal … More Przestrzenie wektorowe

Całki

Co to jest całka ? Całka – ogólne określenie wielu różnych, choć powiązanych ze sobą pojęć analizy matematycznej. Najczęściej przez „całkę” rozumie się całkę oznaczoną lub całkę nieoznaczoną, choć istnieje wiele innych odmian całki. Ścisłe definicje można znaleźć w artykułach dotyczących poszczególnych całek.

Granica i ciągłość funkcji

Materiały zaczerpnięto z: http://wazniak.mimuw.edu.pl/ W tym wykładzie omawiamy pojęcie granicy i ciągłości funkcji prowadzącej z w . Definiujemy granice właściwe, niewłaściwe i jednostronne oraz pojęcie ciągłości funkcji w punkcie. Podajemy twierdzenia dotyczące granic funkcji. Następnie charakteryzujemy zbiory zwarte w i dowodzimy, że funkcja ciągła na zbiorze zwartym osiąga swoje kresy. Na zakończenie wykładu omawiamy tak … More Granica i ciągłość funkcji

Obliczanie granic

Materiały zaczerpnięto z: http://wazniak.mimuw.edu.pl/ Wykład ten jest kontynuacją poprzedniego wykładu dotyczącego ciągów o wyrazach rzeczywistych. Wykład rozpoczynamy od definicji liczby jako granicy pewnego ciągu. Podajemy twierdzenia o arytmetyce granic niewłaściwych i liczymy pewne granice specjalne. Wprowadzamy pojęcia granicy dolnej i granicy górnej ciągu.

Pochodna

Definicja pochodnej funkcji Załóżmy, że mamy daną funkcję f(x) oraz argument x0, w otoczeniu którego funkcja f(x) jest określona. Pochodną funkcji f(x) w punkcie x0 oznaczamy symbolem: f′(x0) i definiujemy jako granicę: f′(x0)=limx→x0f(x)−f(x0)x−x0 Możemy również zdefiniować pochodną jako granicę: f′(x0)=limh→0f(x0+h)−f(x0)h Obie definicje są równoważne i w zależności od podręcznika, możesz spotkać się z pierwszą lub … More Pochodna

Zbiory liczbowe

  Materiały zaczerpnięto z: http://wazniak.mimuw.edu.pl/ Rozpoczynamy od przeglądu najważniejszych pojęć i twierdzeń, które są omawiane w szkole średniej lub w ramach innych przedmiotów objętych programem studiów (logika i teoria mnogości, algebra liniowa z geometrią analityczną, matematyka dyskretna).

Odległość i ciągi

Na tym wykładzie dowiadujemy sie w jaki sposób można mierzyć odległość w . Wprowadzamy pojęcie odległości (metryki) w oraz zdefiniujemy kule dla różnych metryk. Definiujemy ciągi o wyrazach wektorowych, pojecie granicy ciągu. Podajemy własności granic oraz wprowadzamy pojęcie ciągu Cauchy’ego.

Funkcje elementarne

Funkcje elementarne – funkcje, które powstają z funkcji, takich jak: funkcja stała, funkcje trygonometryczne i logarytm, za pomocą skończonej liczby operacji, takich jak dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie oraz złożenie.